Die Weil-Vermutungen sind berühmte Vermutungen, die 1949 von André Weil aufgestellt wurden und die Entwicklung der algebraischen Geometrie in den folgenden Jahrzehnten maßgeblich bestimmt haben, bis sie in den 1970er Jahren von Pierre Deligne bewiesen wurden. Der Beweis benutzt ganz entscheidend die von Grothendieck und seiner Schule entwickelte Sprache der Schemata und der étalen Kohomologie.

Die Vermutungen (nun eigentlich der Satz von Deligne, aber die alte Bezeichnung ist nach wie vor üblich) beschreiben in eleganter Weise eine verblüffende Regelmäßigkeit über die Anzahl von Lösungen eines polynomialen Gleichungssystems über endlichen Körpern $\mathbb F_q$, wobei $q$ die Potenzen einer Primzahl $p$ durchläuft. Einen Teil der Faszination macht die Tatsache aus, dass in der Beschreibung sogenannte Zeta-Funktionen auftreten, die analog zur Riemannschen Zeta-Funktion gebildet werden; der schwierigste Teil der Weil-Vermutungen besagt, dass für diese Funktionen das Analogon der Riemannschen Vermutung richtig ist.

Für algebraische Kurven liegt die Sache wesentlich einfacher als im allgemeinen Fall. In dieser Situation wurde die Vermutung bereits 1924 von Emil Artin aufgestellt und von Weil bewiesen. Diesen Satz und seinen Beweis nach Bombieri zu verstehen, ist das Thema des Seminars.

Vorkenntnisse: Gute Kenntnisse in Linearer Algebra 1, 2 und Algebra. Kenntnisse in Kommutativer Algebra sind nützlich, ebenso wie der parallele Besuch der Vorlesung Algebraische Geometrie

Leistungsnachweis: Es handelt sich um ein Bachelor-Seminar. Für einen erfolgreichen Vortrag erhalten Sie 6 ECTS-Punkte. An mehrere der Vorträge kann sich bei Interesse in natürlicher Weise eine Bachelor-Arbeit anschließen; dafür wäre es zwar nicht unabdingbar, aber nützlich, wenn Sie parallel etwas über Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie lernen. Bitte sprechen Sie mich frühzeitig an, wenn Sie daran Interesse haben. Von den späteren Vorträgen sind einige auch als Master-Seminar-Vortrag geeignet.

Seminarprogramm: pdf

Vorbesprechung: 2.8., 14:15 Uhr, S-3.14. Wenn Sie am Seminar teilnehmen möchten, aber zum Vorbesprechungstermin verhindert sind, können Sie sich auch direkt per Email an mich anmelden.

Kontakt: Ulrich Görtz, ulrich.goertz@uni-due.de

Literatur

E. Bombieri, Counting points on curves over finite fields, Séminaire Bourbaki, Exposé no. 430 (1972/73).

W. Fulton, Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry

U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I. Schemes, Vieweg+Teubner, 2010.

S. H. Hansen, Rational Points on Curves over Finite Fields, Lect. Notes Ser., Aarhus Univ. Mat. Institute, 1995.

R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Graduate Texts in Mathematics 52, 1977.

D. Lorenzini, An invitation to Arithmetic Geometry, Grad. Studies in Math. 9, Amer. Math. Soc., 1996.

H. Stichenoth, Algebraic Function Fields and Codes, Springer Graduate Texts in Math. 254, 2nd ed., 2009.

Vorträge

0 9.10. Einführung Ulrich Görtz
1 16.10. Diskrete Bewertungsringe 1 N. N.
2 23.10. Diskrete Bewertungsringe 2 N. N.
3 30.10. Affine Varietäten N. N.
4 6.11. Projektive Varietäten N. N.
5 13.11. Algebraische Kurven N. N.
6 20.11. Ebene Kurven N. N.
7 27.11. Divisoren N. N.
8 4.12. Die Zeta-Funktion einer Kurve N. N.
9 11.12. Lineare Äquivalenz N. N.
10 18.12. Der Satz von Riemann-Roch Julian Alff
11 8.1. Rationalität der Zeta-Funktion und Funktionalgleichung N. N.
12 22.1. Der Satz von Bombieri N. N.
13 29.1. Der Beweis der Riemannschen Vermutung für Zeta-Funktionen von Kurven N. N.