WiSe 15/16 - Funktionentheorie II

Funktionentheorie II - Komplexe Mannigfaltigkeiten


Calabi-Yau

Termine

Montags, 14 - 16 Uhr in WSC-S-U-3.03
Mittwochs, 14 - 16 Uhr in WSC-S-U-3.03

Übung

Freitags, 12 - 14 Uhr in WSC-S-U-3.03 (betreut von Dr. Tim Kirschner)

In der Übung werden Aufgaben besprochen und unter Anleitung bearbeitet, die am Montag der jeweiligen Woche ausgegeben werden. Mehr Informationen gibt es im moodle zur Vorlesung.

Zielgruppe

Studierende BA/MA Mathematik

Voraussetzungen

Funktionentheorie I

Führt hin zu

Bachelor-/Master-Arbeit in Komplexer Geometrie; Algebraische Geometrie

Beschreibung

Ziel der Vorlesung ist das Studium holomorpher Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher. Hierbei untersuchen wir zunächst das lokale Verhalten solcher Funktionen (Potenzreihenentwicklungen, Zusammenhang mit reeller Differenzierbarkkeit, ...) und verwenden unser Wissen aus Funktionentheorie I, um die Struktur des Ringes holomorpher Funktionen in der Nähe eines Punktes zu verstehen. Nach dieser lokalen Theorie startet die globale Theorie mit der Definition des Begriffes der komplexen Mannigfaltigkeit. Dies sind Räume, die lokal, aber eben nicht global wie offene Mengen des CC^n aussehen. Wir werden viele klassische Beispiele für komplexe Mannigfaltigkeiten und ihre analytischen Teilmengen (das sind solche, die durch das Verschwinden einer Menge von holomorphen Funktionen definiert sind) kennenlernen und studieren. Ziel ist es, einen Einblick in dieses aktive Teilgebiet der modernen Mathematik zu geben, aber auch die technischen Grundlagen zu legen, die es teilnehmenden Studierenden zum Beispiel ermöglichen, anschließend in einen Zyklus über Algebraische Geometrie einzusteigen. Einen guten Einblick in die behandelten Themen liefert das unten angegebene Buch von Fritzsche und Grauert.

Vorläufige Liste von Themen:

  • Elementare Theorie holomorpher Funktionen mehrerer Veränderlicher
  • Analytische Mengen
  • Weierstraßscher Vorbereitungssatz
  • Analytische Mengen als verzweigte Überlagerungen
  • Irreduzible Komponenten und singuläre Punkte analytischer Mengen
  • Komplexe Mannigfaltigkeiten
  • Faserbündel, insbesondere Geradenbündel
  • Geradenbündel, Divisoren, meromorphe Funktionen
  • Untermannigfaltigkeiten projektiver Räume, Chows Satz

Literatur

  • Fritzsche, Grauert: From holomorphic functions to complex manifolds, Springer
  • Gunning: Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Wadsworth & Brooks/Cole
  • Huybrechts: Complex Geometry, Springer
  • Taylor: Several Complex Variables, AMS
  • Range: Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, Springer