WiSe 18/19 - Riemannsche Flächen I

Riemannsche Flächen I


Triple torus illustration

Termine

Montags, 14 - 16 Uhr in WSC-S-U-3.03
Donnerstags, 10 - 12 Uhr in WSC-S-U-3.03

Übung

Mittwochs, 16 - 18 Uhr in WSC-S-U-3.03 (betreut von Dr. Martin Schwald)

Zielgruppe

Studierende BA/MA-Mathematik; das Modul ist im derzeit geltenden Modulhandbuch ein Aufbaumodul, im zur demnächst in Kraft tretenden Prüfungsordnung gehörenden Modulhandbuch befindet sich das Modul im Erweiterungsbereich.

Voraussetzungen

Funktionentheorie

Führt hin zu

Riemannsche Flächen II; Bachelor-Arbeit in Komplexer Geometrie; Algebraische Geometrie I

Beschreibung

Während man in der "Funktionentheorie" die holomorphen und meromorphen Funktionen auf offenen Mengen der komplexen Zahlenebene C studiert, betrachten wir in der Vorlesung „Riemannsche Flächen I“ Räume, die lokal, aber nicht unbedingt global, zu offenen Mengen in C isomorph sind. Wir werden holomorphe und meromorphe Funktionen auf diesen sogenannten „Riemannschen Flächen“ untersuchen und Abbildungen zwischen ihnen studieren. Aufbauend auf die grundlegende Theorie, die mit einer Reihe von Beispielen illustiert werden wird, werden wir anhand von klassischen Fragestellungen Methoden der modernen komplexen Geometrie einführen und anwenden. Mit Hilfe dieser Methoden zeigt man zum Beispiel, dass auf jeder kompakten Riemannschen Fläche genug meromorphe Funktionen existieren, um die Fläche in einen projektiven Raum einzubetten, wo sie durch endlich viele homogene polynomiale Gleichungen gegeben ist; damit stellt man einen Zusammenhang zur Theorie der algebraischen Kurven her, mit deren Grundlagen wir uns ebenfalls im Rahmen der Vorlesung beschäftigen werden.

Die Vorlesung richtet sich an alle, die an komplexer Geometrie (ob analytisch oder algebraisch) interessiert sind und kann als Einstieg in eine Spezialisierung in Komplexer oder Algebraischer Geometrie dienen. Sie schließt an die Vorlesung "Funktionentheorie" aus dem Sommersemester an; wesentliche Aussagen dieser Vorlesung werden vor Verwendung kurz wiederholt werden.

Literatur:

  • Simon Donaldson: Riemann Surfaces, Oxford University Press
  • Otto Forster: Lectures on Riemann Surfaces, Springer
    (auch in deutscher Sprache: Vorlesungen über Riemannsche Flächen, Heidelberger Taschenbücher, Springer)
  • Freitag/Busam: Funktionentheorie 1/2, Springer
  • Robert Gunning: Lectures on Riemann Surfaces, Princeton University Press
    (auch in deutscher Sprache: Vorlesungen über Riemannsche Flächen)
  • Rick Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces, American Mathematical Society