Quotienten und Modulräume

Termine:

Montags 16-18 WSC-N-U-3.04 (Bei Bedarf können wir diesen Termin verschieben.)

Anmeldung bitte per email.

2.Vorbesprechung: In der ersten Semesterwoche Di 7.4. 16:00 in WSC-O-3.46

Zielgruppe: Bachelor and Master Studenten Mathematik

Voraussetzungen: Algebra 1, Grundbegriffe der algebraischen Geometrie wären sehr hilfreich.

Das Programm kann abhängig von dern Vorkenntnissen der Teilnehmer angepasst werden. Den ersten Teil des Seminars könnten wir auch auf elementarerem Niveau erklären. Umgekehrt könnte der zweite Teil auch leicht erweitert werden.

Inhalt:

Eine grundlegende Frage in vielen Teilen der Mathematik ist die Frage, wie wir uns einen Überblick über alle möglichen Objekte eines Typs verschaffen können. In der Linearen Algebra haben Sie dafür erste Beispiele gesehen: Vektorräume sind alle durch ihre Dimension klassifiziert. Einen Überblick über alle linearen Abbildungen F:V->V zu bekommen, schien ersteinmal schwierig, aber mit der Jordan Normalform haben wir die Geometrie der linearen Abbildungen dann doch verstanden.

Explizit könnten wir dies auch als die Bestimmung eines guten Representantensystems für Matrizen bis auf Konjugation verstehen.

Erstaunlicherweise lassen sich viele andere algebraische Objekte auf ähnliche Weise klassifizieren: Zum Beispiel können wir in Systemen von Gleichungssystemen zunächst alle Koeffizienten als variable auffassen und dann schauen, wie sich durch geschickte Koordinatenwahl die Anzahl der Koeffizienten verringern lässt. Die Anzahl der Variablen die schlußendlich wirklich nötig sind heißt klassisch of die Anzahl der Parameter (=Moduli) des Problems.

In diesem Seminar wollen wir einen sehr nützlichen Zugang zu diesen Fragen, die geometrische Invariantentheorie kennenlernen. Wir orientieren uns dabei im wesentlichen am ersten Kapitel von [1] und fügen einige Beispiele aus [2] hinzu.

Ein vorläufiges Seminarprogramm finden Sie hier. (Der Text ist für den Moment Englisch, für den Fall, dass Studierende aus dem ALGANT-Programm am Seminar teilnehmen möchten, das ist aber nicht sicher.) 

Literatur:

¹ A. Schmitt: Geometric Invariant Theory and Decorated Principal Bundles. Zürich lectures in advanced mathematics, EMS Publishing House, 2008

² S. Mukai: An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge University Press 2003.