Vorlesung Mathematische Miniaturen WS 2015/16

Vorlesung Mathematische Miniaturen, Wintersemester 2015/16

In dieser Vorlesung werden im zweiwöchentlichen Rhythmus einzelne Themen der “mathematischen Allgemeinbildung” behandelt, die keine über die Schulmathematik hinausgehenden Vorkenntnisse erfordern.

Die Veranstaltung soll insbesondere Mathematik-Studenten im ersten Semester unterstützen, sich ein umfassenderes Bild von der Mathematik zu verschaffen, als es in den traditionellen Anfängervorlesungen über Analysis und Lineare Algebra vermittelt werden kann. Damit fällt es (hoffentlich) auch leichter, die Motivation für das Mathematikstudium hochzuhalten, beziehungsweise festzustellen, ob Mathematik das richtige Studienfach ist.

Termin: Freitags, 14-16; alle zwei Wochen, das heißt: 30.10.2015, 13.11.2015, 27.11.2015, 11.12.2015, 8.1.2016, 22.1.2016, 5.2.2016.

Ort: R14 R02 B07 (kleiner Hörsaal im neuen Hörsaalzentrum)

Die einzelnen Vorlesungen


30.10. Primzahlen und eindeutige Primfaktorzerlegung

Literatur:

  • Scheid, Frommer, Zahlentheorie, Spektrum Akad. Verlag, 4. Auflage, I.3


13.11. Public-Key-Kryptographie

Folien

Literatur:

  • Scheid, Frommer, Zahlentheorie, Spektrum Akad. Verlag, 4. Auflage, IV.6


11.12. Diophantische Approximation

Literatur:

  • Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer (Kap. 5, Kap. 6)
  • Miller, Takloo-Bighash, An Invitation to Modern Number Theory, Princeton Univ. Press, Chapter 6.
  • Hindry, Silverman, Diophantine Geometry, An Introduction; Springer Graduate Texts in Mathematics 201 (Part D enthält einen Beweis des Satzes von Roth; der größte Teil des Buchs ist aber schwere Kost und eher für einen (deutlich) späteren Zeitpunkt im Studium geeignet)


8.1.16 – Zahlbereiche: Reelle und komplexe Zahlen, die Hamiltonschen Quaternionen

Literatur:

  • Ebbinghaus und andere, Zahlen, Springer-Verlag (3. Auflage), besonders Kapitel 3, Kapitel 7


22.1.16 Mathematik als Beruf? Von logischen Strukturen und aktuellen Herausforderungen, Sprecher: Axel Sauerland (IBM).

Bei diesem Vortrag ist es nicht möglich, durch Anfertigen eines Protokolls den Leistungsnachweis zu erwerben.

Literatur und weiterführende Links:


5.2.16 – Berühmte Vermutungen

Die Riemannsche Vermutung

  • Wikipedia
  • Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer (Kap. 1, Kap. 7)
  • Ahlfors, Complex Analysis, McGrawHill, 3rd ed., Kap. 5.4.
  • Miller, Takloo-Bighash, An Invitation to Modern Number Theory, Princeton Univ. Press, Chapter 3.
  • Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680

Die abc-Vermutung

Anmeldung: Für Mathematik-Studenten ist keine Anmeldung erforderlich. Wenn Sie die Veranstaltung im E3-Bereich belegen möchten, ist wie üblich eine Anmeldung beim IOS erforderlich.

Leistungsnachweis: Es kann ein unbenoteter Leistungsnachweis erworben werden, indem für eine der sechs Veranstaltungen (der 22.1. ist ausgenommen) ein Protokoll angefertigt und abgegeben wird (das den Mindestanforderungen genügt). Protokolle müssen bis spätestens 31.3.2016 abgegeben werden.

Das Protokoll muss nicht unbedingt alle Details der Vorlesung wiedergeben. Die wichtigen Themen müssen aber angesprochen werden, und mindestens ein Teil der Beweise muss verständlich aufgeschrieben sein. Das Protokoll muss erkennen lassen, dass Sie sich mit den Inhalten noch einmal selbst auseinandergesetzt haben: Ein Abfotografieren der Tafeln und wörtliches Abschreiben des Tafeltexts genügt nicht.

Sie können das Protokoll auch für die erste Sitzung schreiben. Beispiele, die Ihre Eigenleistung in diesem Fall belegen könnten, wären:

  • Schreiben Sie einen Beweis, der in der Vorlesung zu schnell ging, ausführlich auf (zum Beispiel den letzten Beweis).
  • Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler zweier dreistelliger Zahlen $x$, $y$ mit dem euklidischen Algorithmus, und stellen Sie ihn in der Form $ax+by$ dar.
  • Recherchieren Sie, was die größte zurzeit bekannte Primzahl ist, und wer sie wann gefunden hat. (Quellenangaben nicht vergessen!)
  • Geben Sie eine Formulierung des Satzes über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, die sich nicht nur auf die natürlichen Zahlen bezieht, sondern auf alle ganzen (oder: alle rationalen) Zahlen.
  • Benutzen Sie den Satz über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, um zu beweisen, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist.

(Es gibt natürlich noch viele andere Möglichkeiten. Je mehr Sie selbst dabei über mathematische Fragen nachdenken, desto besser.)

Sie können das Protokoll handschriftlich verfassen. Wenn Sie Ihr Protokoll lieber am Computer schreiben möchten, empfehle ich Ihnen, sich gleich zu Beginn mit dem mathematischen Schriftsatzprogramm LaTeX vertraut zu machen; alles andere ist nur eine Behelfslösung, und spätestens für Ihre Bachelor-Arbeit wird LaTeX das einzige praktikable Werkzeug sein.

Vom Umfang her erscheinen mir zwischen 5 und 7 handschriftliche Seiten vernünftig. Es scheint mir schwer vorstellbar, dass auf weniger als 4 handschriftlichen Seiten eine Vorlesung ordentlich protokolliert werden könnte.

Das Protokoll können Sie dann in der Vorlesung abgeben oder mir per Email schicken. Wichtig: Bitte geben Sie unbedingt Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Email-Adresse an, damit ich die Leistung verbuchen lassen und Ihnen eine Rückmeldung geben kann.

Grundregeln wissenschaftlichen Arbeitens: Wenn Sie aus Büchern, Zeitschriftenartikeln, Internetartikeln, … zitieren, geben Sie die Quelle an! Wörtliche Zitate sind als solche durch Anführungszeichen und genaue Quellenangabe zu kennzeichnen, sind aber in der Mathematik unüblich (weil sie praktisch nie sinnvoll sind: Man möchte die Formulierungen ohnehin an die eigenen Notationen, eventuell an eine spezifische Situation usw., anpassen). Soll heißen: Wenn Sie irgendwann in Ihrem Studium mehr als wenige Zeilen aus einer Vorlage wörtlich in einen eigenen mathematischen Text übernehmen, tun Sie mit Sicherheit nicht das, was von Ihnen erwartet wird. Wenn Sie darüberhinaus die Quellenangabe “vergessen”, handelt es sich um ein Plagiat und wird als Täuschungsversuch gewertet. Entsprechendes gilt für Übersetzungen, die Wort für Wort der Vorlage entsprechen.

Abgesehen davon, dass für die Übernahme fremder Ergebnisse eine Quellenangabe erforderlich ist, sind reine Informationen (wie zum Beispiel ein mathematischer Satz oder auch dessen Beweis) nicht urheberrechtlich geschützt. Anders ist das bei Zeichnungen, Fotos, Tabellen, die man komplett als Bild übernimmt (eventuell auch bei langen Textpassagen, aber das ist ja – wie oben erläutert – für mathematische Texte nicht relevant). Hier ist abgesehen von der grundsätzlichen Notwendigkeit der Quellenangabe in der Regel auch das Urheberrecht zu beachten. Das bedeutet, dass beispielsweise eine Zeichnung nur mit Genehmigung des Rechteinhabers verwendet werden darf. In schriftlichen Publikationen ist das in aller Regel der Verlag – dort muss man also anfragen, ob die Verwendung erlaubt wird. Inhalte im Internet werden teilweise, aber nicht immer unter Lizenzen zur Verfügung gestellt, die die Weiterverwendung erlauben. Dies ist zum Beispiel bei allen Inhalten auf Wikipedia der Fall. Allerdings gibt es dabei meistens Anforderungen, die über eine reine Quellenangabe hinausgehen. Im Fall von Wikipedia muss in der Regel die Lizenz und der/die Autoren genannt werden. Wenn keine Lizenz angegeben ist, sind die Inhalte urheberrechtlich geschützt, und eine Verwendung ist nur dann statthaft, wenn man dazu vorher die Erlaubnis des Rechteinhabers erhält.

Täuschungsversuch: Wenn ich Protokolle erhalte, bei denen ich davon ausgehen muss, dass Sie zu einem signifikanten Teil abgeschrieben sind, werde ich diese als nicht bestanden wegen eines Täuschungsversuch bewerten.

Entsprechendes gilt für Protokolle, in denen ein substanzieller Teil aus nicht genannten Quellen übernommen ist.

Bitte lesen Sie in §25 der Prüfungsordnung nach, was das gegebenenfalls für Konsequenzen für Sie hat, und ersparen Sie sich (und mir) den damit verbundenen Ärger!