Algebraische Zahlentheorie II (Klassenkörpertheorie)
Vorlesung
Montag, 14 - 16 Uhr, WSC S-U-4.02
Mittwoch, 14 - 16 Uhr, WSC S-U-3.03
Übungen
Dienstag, 14 - 16 Uhr, WSC S-U-3.03
Voraussetzungen
Die Vorlesung kann unabhängig von der Algebraischen Zahlentheorie I gehört werden. Vorausgesetzt wird allerdings ein geübter Umgang mit Techniken und Begriffen, wie Sie im Rahmen einer Vorlesung Algebra I vermittelt werden. Bei Bedarf wird die Vorlesung auf Englisch gehalten.
Inhalt
Die algebraische Zahlentheorie befasst sich mit dem Körper der rationalen Zahlen und seinen endlichen Erweiterungen, den sogenannten algebraischen Zahlkörpern. Komplettiert man einen algebraischen Zahlkörper bezüglich eines festen Absolutbetrages, so gelangt man zu der Klasse der sogenannten lokalen Körper - etwa den reellen oder den p-adischen Zahlen.
Die Klassenkörpertheorie befasst sich mit dem Problem, alle abelschen Erweiterungen eines algebraischen Zahlkörpers oder eines lokalen Körpers zu klassifizieren. Damit sind diejenigen Galoisschen Erweiterungen gemeint, deren Galoisgruppen abelsch sind. Die Lösung dieses Problems wurde ursprünglich von Hasse und Artin gegeben und ist bis heute von großer Bedeutung.
In der Entwicklung der Klassenkörpertheorie folgt die Vorlesung dem von Tate eingeführten kohomologischen Ansatz. Insbesondere wird eine gründliche Einführung in die Kohomologie der endlichen Gruppen gegeben, welche in vielen Bereichen der Mathematik von Bedeutung ist.
Die behandelten Themen umfassen Wiederholungen zur Galoistheorie, Strukturtheorie lokaler Körper, Gruppenkohomologie, Klassenformationen, lokale Klassenkörpertheorie und lokales Reziprozitätsgesetz, Überblick über die globale Klassenkörpertheorie.
Literatur
Die Vorlesung folgt im Wesentlichen den ersten Abschnitten von [2] in der folgenden Literaturliste.
[1] S. Lang: Algebraic Number Theory; Graduate Texts in Mathematics 110, 2nd Edition, Springer, 1994
[2] J. Neukirch: Klassenkörpertheorie; neu herausgegeben von A. Schmidt, online Ausgabe, Springer, 2012
[3] J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie; Springer, 1992
Studienleistungen
Die Vorlesung wird mit einer mündlichen Prüfung abgeschlossen. Für die Zulassung zur mündlichen Prüfung ist das Erreichen von mindestens 45% der Punkte auf den wöchentlichen Übungsblättern und die aktive Teilnahme an den Übungen erforderlich.
Übungsblätter
Die Aus- und Abgabe der Übungsblätter erfolgt dienstags in den Übungen.