Bachelorseminar zur quadratischen Formen

Überblick

Dieses Bachelorseminar ist als begleitende Seminar zur Algebra 1 gedacht. Trotzdem ist nur den Stoff aus lineare Algebra 1 und 2 als Voraussetzung nötig und das Seminar kann auch als Gelegenheit für diejenige, die gerne etwas weiter über Algebra und Zahlentheorie lernen möchten aber keine Zeit in Ihren Terminkalendar für Algebra 1 haben. Wir werden das Thema ``quadratische Formen'' in ihren algebraischen sowie arithmetischen Aspekte angehen. Das heisst, wir stellen erst die allgemeine Theorie der quadratischen Formen über einen beliebigen K\"orper dar. Wir betrachten dann besonderen Körper, die $p$-adischen Zahlen, und diskutieren was man über quadratischen Formen über solchen Körper sagen kann. Zum Schluss benutzen wir die allgemeine Theorie sowie den Sonderfall der $p$-adischen Körper um fundementalen Sätze über quadratischen Formen mit $\mathbb{Q}$-Koeffizienten und auch mit $\mathbb{Z}$-Koeffizienten zu beweisen.

Termin

Freitag 14-16 Uhr Raum WSC-S-U-3.01

Einleitung

Das Thema des Proseminars heisst quadratische Formen. Man kann das auch als quadratische Räume ausdrücken. Das ist eine Verallgemeinerung des Begriffs eines euklidischen Raums. Statt eines reellen Vektorraums mit einem Skalarprodukt betrachtet man Vektorräume über einen Körper K, versehen mit einer (meist nicht entartigten) symmetrischen Bilinearform. Weil K nicht unbedingt die reellen Zahlen sein muss, verlangt man nicht, dass die Bilinearform positiv definit sein muss, vor allem weil es in einem beliebigen Körper keinen Positivitätsbegriff gibt. 

Man kann sehr einfache Fragen über quadratischen Formen q(x) mit Koeffizienten in einem Körper K stellen: für welches b in K ist die Gleichung q(x)=b lösbar? Gibt es eine Grenze n, sodass jede quadratische Gleichung q(x)=0 in mindestens n Variablen eine nicht Null Lösung hat? Wenn ja, was ist das minimale n? Die Antworten zu diesen Fragen sagen viel über den Körper K aus.

Dieses Thema hat tiefe Wurzeln in der Mathematik und ist gleichzeitig ein lebendiger Bestandteil der modernen Mathematik. 

Ablauf des Seminars:

Teil I-Grundlagen der quadratischen Formen

1. 19.10.2018 Marc Levine-Bilinearformen, quadratische Räaumen, Isometrien und andere elementare Begriffe. Matrizen für Bilinearformen und quadratischen Formen, Ähnlichkeit, die Orthogonalgruppe. [Kap. I, S1, S2]{Scharlau} (siehe auch [S1.1, 1.2]{Scharlau2}).

2: 26.10.2018   Diagonalisierung, Radikal und regulären Teil. [Kap. I, S3]{Scharlau}.

3: 02.11.2018  Isotropische Vektoren und hyperbolische Ebene. [Kap. I, S4]{Scharlau} (siehe auch [S1.3]{Scharlau2} und [Theorem 1', pg. 34]{Serre}).

4: 09.11.2018    Der Satz von Witt. Die Witt'sche Zerlegung. [Kap. I, S5]{Scharlau}.

5: 16.11.2018   Die Grothendieck und Witt Ringen, Invarianten. [Kap. II, S1, 2]{Scharlau} (siehe auch S1.6]{Scharlau2} bis zum Definition 1.6.4).

6: 23.11.2018 Berechnung der Witt Ring: endliche und reelle Körper [Kap. II, S4]{Scharlau}.

Man sollte auch die Arbeit von Witt {Witt} (wenigstens Teil I) anschauen.

Teil II-quadratische Formen mit p-adischen Koeffizienten

7: 30.11.2018 Endliche Körper, das Legendresymbol und der quadratische Reziprozitätsatz [Kap. I, S3.1, 3.2, 3.3]{Serre}.

8: 07.12.2018 p-adischen Zahlen [Kap. I, S3.1-.4, 4.1, 4.2]{BS}

9: 14.12.2018 Die Lösung p-adischer Gleichungen [Kap. I, S5.1, 5.2]{BS} bis zum Theorem 3 und Corollary (inklusiv).

10. 11.01.2019  Quadratische p-adischen Zahlen und die Darstellung des Nulls durch p-adischen quadratischen Formen [Kap. I, §6.1, 6.2]{BS}.

11. 18.01.2019  Binäre p-adischer Formen [Kap. I, §6.3]{BS}.

Teil III-quadratischen Formen mit rationalle Koeffizienten

12. 25.01.2019 Der Satz von Hasse-Minkowski. Die Aussage und Beweis für Formen in 2 und 3 Variablen [Kap. I, §7.1, 7.2]{BS}

13. 01.02.2019  Beweis für Formen in >4 Variablen [Kap. I, §7.3, 7.4]{BS}.

Literaturverzeichnis

{BS} Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich, Number Theory. Translated from the Russian by Newcomb Greenleaf. Pure and Applied Mathematics, Vol. 20 Academic Press, New York-London 1966 x+435 pp.

{Scharlau} W. Scharlau, Quadratic and Hermitian forms. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 270. Springer-Verlag, Berlin, 1985. x+421 pp.

{Scharlau2} W. Scharlau, Quadratic forms. Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 22 Queen's University, Kingston, Ont., 1969 iii+162 pp.

{Serre} J.-P. Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973. viii+115 pp.

{Witt} E. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliegen Körpern, J. reine angew. Math. 176, 31-44 (1937).