Vorlesung: Algebraische Geometrie

Die Algebraische Geometrie ist ein spannendes und modernes Gebiet der Mathematik. Ihr Ausgangspunkt ist das Studium von Systemen polynomialer Gleichungen in mehreren Unbestimmten. Die Algebraische Geometrie hat Verbindungen zu vielen Bereichen der Mathematik, wie zum Beispiel der komplexen Geometrie, der Zahlentheorie, der Topologie, aber auch zur theoretischen Physik.

Das Hauptaugenmerk der Vorlesung wird auf der Einführung der von Grothendieck entwickelten Sprache der Schemata liegen. Der Begriff des Schemas verallgemeinert den der Varietät und bietet in vielen Fällen einen eleganteren Zugang. Die Einführung von Schemata hat in den 60er und 70er Jahren die Algebraische Geometrie revolutioniert; heutzutage bildet diese Theorie die allgemein akzeptierte Grundlage der Algebraischen Geometrie.

Die größere Allgemeinheit erfordert allerdings auch einen höheren technischen Aufwand. Wir werden in der Vorlesung sehen, dass es sich lohnt, diesen Preis zu zahlen. Die volle Kraft des Grothendieckschen Zugangs offenbart sich beim weitergehenden Studium der algebraischen Geometrie, zu dem die Vorlesung die Tür aufstoßen möchte. Auf dem Weg werden wir aber auch sorgfältig die zugrundeliegende geometrische Intuition herausarbeiten.

Termin: Vorlesung: Di 16-18 (S-U-3.02), Mi 10-12 (S-U-3.01), Übung: Mi, 12-14, O-3.46.

Am Dienstag, 15.1. muss die Vorlesung leider ausfallen. Die Übungsgruppe am Mittwoch, 16.1., entfällt ebenso. Die Vorlesung am Mittwoch, 16.1., findet statt.

Vorkenntnisse: Gute Grundstudiumskenntnisse und Grundlagen der Kommutativen Algebra, wie sie etwa in meiner Vorlesung Algebra II behandelt wurden.

Inhalt der Vorlesung: Anmerkungen zum Inhalt der Vorlesung und Hinweise, was eine nütliche Vorbereitung sein könnte, finden Sie hier (wird nach und nach aktualisiert).

Übungsblätter

Abgabe
1 pdf (korrigiert 23.10.) 16.10.
2 pdf (korrigiert 23.10., 30.10.) 23.10.
3 pdf —- Lösungen 30.10.
4 pdf 6.11.
5 pdf (korrigiert 21.11.) 13.11.
6 pdf (korrigiert 28.11.) 20.11.
7 pdf 27.11.
8 pdf 4.12.
9 pdf 11.12.
10 pdf 18.12.
11 pdf 8.1.
12 pdf 15.1.
13 pdf 22.1.

Literatur

Übersichtsartikel. Für einen ersten Überblick, worum es geht, können Sie einen Blick in meinen Übersichtsartikel Classics revisited: EGA werfen.

Es gibt eine Unmenge an Lehrbüchern zur algebraischen Geometrie. Ich gebe hier eine Auswahl an. Wie immer gilt: Schauen Sie sich die Bücher gründlich an, bevor Sie eines kaufen.

Gemeinsam mit Torsten Wedhorn habe ich ein Buch über algebraische Geometrie geschrieben, das ich empfehlen kann :-)

  • Görtz, Wedhorn, Algebraic Geometry I. Schemes. With Examples and Exercises. Vieweg.

Dort findet sich sicher so gut wie alles, was in der Vorlesung behandelt wird, aber auch noch einiges mehr. Die Vorlesung wird sich streckenweise, aber nicht ausschließlich, nah an diesem Buch orientieren.

Eine gute Einführung, die sich auf das wesentliche beschränkt, ist

  • Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Lecture Notes in Math. 1358. Von Uni-Rechnern elektronisch verfügbar.

Weitere grundlegende Referenzen sind

  • Dieudonné, J., Grothendieck, A., Eléménts de géométrie algébrique I-IV, Publ. Math. IHES 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960-67), gescannt auf numdam.org
  • Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer Graduate Texts in Mathematics 52
  • Shafarevich, I., Basic Algebraic Geometry 1, 2, Springer

Das Buch von Hartshorne ist wesentlich umfangreicher als das von Mumford, insbesondere wenn man die Übungen einrechnet; da diese für ein gutes Verständnis des Stoffes teilweise unabdingbar sind, ist das Buch aber auch nicht ganz leicht lesbar. EGA ist die Standardreferenz für die Grundlagen der algebraischen Geometrie. Hier werden die Grundlagen in großer Allgemeinheit, und sehr ausführlich gelegt. Auch wenn es zu Beginn schwierig ist, sich darin zurechtzufinden, sollte man das von Beginn an üben. Die Beweise in EGA sind klar und vollständig, und es lohnt sich, sich frühzeitig mit dem Aufbau des Werks vertraut zu machen. Dabei sei ganz allgemein bemerkt, dass Grundkenntnisse der französischen Sprache für ein Studium der algebraischen Geometrie auf einem höheren Niveau unabdingbar sind. Wer diese nicht hat, sollte in den nächsten Semsterferien einen Sprachkurs einplanen —- das lohnt sich auch ganz unabhängig von der algebraischen Geometrie. Das Stacks-Projekt, das von A. J. de Jong initiiert wurde, ist inzwischen noch umfangreicher als EGA und enthält auch viele neuere Resultate. Die Bücher von Shafarevich sind eine gute Ergänzung zu den anderen Texten.

Ein neueres Buch, das leichter zugänglich ist als EGA, aber dennoch eine höhere Allgemeinheit als etwa das Buch von Hartshorne anstrebt, ist

  • Liu, Q., Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Univ. Press

Es gibt sehr viele weitere Bücher zur algebraischen Geometrie, zum Beispiel

  • Bosch, S., Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer
  • Harder, G., Lectures on Algebraic Geometry I, II, Vieweg-Teubner

Mit algebraischer Geometrie über den komplexen Zahlen und komplexer Geometrie beschäftigen sich zum Beispiel

  • Griffiths, P., Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience
  • Huybrechts, D., Complex geometry, Springer Universitext

Es gibt auch eine Reihe von Vorlesungsskripten (von unterschiedlicher Qualität) im Netz, unter den besseren zum Beispiel:

Im Skript von Milne finden sich noch weitere Literaturangaben mit Kommentaren (denen ich im wesentlichen zustimme). Eine wesentlich umfangreichere Liste von Skripten hat Franz Lemmermeyer zusammengestellt.