Algebraische Topologie SS 2013
Inhalt: Diese Vorlesung richtet sich an Master- und fortgeschrittene Bachelor-Studenten der Mathematik. Ziel der Vorlesung ist es eine Einführung in die grundlegenden Konzepte der algebraischen Topologie zu geben, nämlich der Homotopie und Homologie. Hierbei handelt es sich um Methoden, einem topologischen Raum Gruppen (üblicherweise abelsche Gruppen) zuzuordnen, die sich als äußerst hilfreich zur Behandlung der grundlegenden Fragestellung der Homotopietheorie erweisen: Wann sind zwei topologische Räume homotopieäquivalent? – und darüber hinaus noch für etliche andere Fragen ein mächtiges Hilfsmittel darstellen. Diese Invarianten spielen auch in der Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine Rolle, besonders über den Satz von de Rham, der es ermöglicht die Homologie einer Mannigfaltigkeit rein über Differentialformen zu berechnen.
Darüber hinaus ist die algebraische Topologie auch eine wichtige Komponente der modernen algebraischen Geometrie, indem sie einerseits Invarianten für algebraische Varietäten über den komplexen Zahlen bereitstellt, aber auch das Vorbild für rein algebraisch konstruierte Invarianten wie die étale Kohomologie liefert.
Voraussetzungen: Studenten, die an dieser Vorlesung teilnehmen möchten, sollten mindestens Lineare Algebra und Analysis I gehört haben. Es wäre auch empfehlenswert Algebra I gehört zu haben, wenngleich dies keine strikte Voraussetzung ist. Wir werden einige algebraische Methoden entwickeln, z.B. elementare homologische Algebra, im Umfange so wie benötigt. Grundlagen der allgemeinen Topologie, wie die Definition eines topologischen Raums, Stetigkeit, Kompaktheit, Produkträume, Quotientenräume sowie Metriken werden zu Beginn der Vorlesung eingeführt.
Eine Folgevorlesung über differenzierbare Mannigfaltigkeiten ist für das WS 2013/14 geplant.
Die Vorlesung stützt sich auf das Buch "Algebraic Topology, a first course" (Mathematics Lecture Note Series, 1981) von Marvin Greenberg und John Harper. In der Vorlesung werden wir die ersten zwei Kapitel behandeln: Elementary homotopy theory und Singular homology theory – sowie weiteres Material wenn es die verbliebene Semesterzeit erlaubt. Die Vorlesung wird gehalten von
Prof. Marc Levine (Büro WSC-O-3.59), Dr. Oliver Bräunling (Büro WSC-O-3.73),
und trifft sich regelmäßig an einem noch nicht festgelegten Termin. Um auf mögliche Überlappungen und andere administrative Fragen flexibel eingehen zu können, wird es daher eine
VORBESPRECHUNG
am Dienstag, 9. April 2013, 10 Uhr (c.t.), im Raum WSC-S-U-3.01 GEBEN. WER AN DIESEM TERMIN VERHINDERT IST UND DENNOCH AN DER VORLESUNG TEILNEHMEN MÖCHTE, meldet sich bitte bei oliver.braeunling_at_uni-due.de.
Die Note setzt sich sowohl aus Ergebnissen der wöchentlichen Übungszettel sowie einer Abschlussklausur zusammen. Diejenigen, die diese Vorlesung als Seminar angerechnet bekommen möchten, melden sich bitte direkt bei Prof. Levine.
Literatur:Neben dem Haupttext von Greenberg-Harper
- - Greenberg, Marvin J., Harper, John R., Algebraic topology A first course. Mathematics Lecture Note Series, 58. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Advanced Book Program, Reading, Mass., 1981.
gibt es zahlreiche weitere Literatur, auch deutschsprachig:
- - Stöcker, Ralph; Zieschang, Heiner – Algebraische Topologie, eine Einführung, 2. Auflage (B.G. Teubner, 1994)
- - Tom Dieck, Tammo – Topologie, 2. Auflage (deGruyter, 2000)
- - Jänich, Klaus – Topologie, 6. Auflage (Springer) [mit Fokus auf den Grundlagen]
- - Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [auch online verfügbar auf der Webseite des Autors]
- - Munkres, James R. Elements of algebraic topology Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 1984.
- - Lück, Wolfgang – Algebraische Topologie (vieweg, 2005)
- - Munkres, James R. Topology: a first course. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J.,1975.
- - Dugundji, James Topology. Allyn and Bacon, Inc., Boston, Mass. 1966
- - Schubert, H., Topologie, B.G. Teubner, Stuttgart, 1975