Die abc-Vermutung

Die abc-Vermutung

Die abc-Vermutung ist eine relative junge Vermutung (aufgestellt Ende der 1980er Jahre), deren Aussage sehr einfach und dadurch sehr frappierend ist. Eine (leicht vereinfachte) Version ist die folgende

Explizite abc-Vermutung: Seien $a$, $b$, $c$ teilerfremde natürliche Zahlen mit $a+b = c$. Sei $R$ das Produkt aller Primzahlen, die eine der drei Zahlen $a$, $b$, $c$ teilen. Dann gilt $c < R^2$.

Beispiel: Seien $a = 3$, $b=125$, $c=128$. Dann sind $a$, $b$, $c$ teilerfremd und $a+b=c$. Die Primzahlen, die eine der Zahlen $a$, $b$, $c$ teilen, sind $2$, $3$, und $5$, also ist $R=2\cdot 3\cdot 5 = 30$. Tatsächlich gilt $c = 128 < 900 = 30^2 = R^2$ (aber nicht $c < R$, man kann den Exponenten $2$ also nicht einfach weglassen).

Die abc-Vermutung ist eine sehr tiefliegende Vermutung in dem Sinne, dass sie viele andere Aussagen aus der Zahlentheorie nach sich zieht, zum Beispiel die Fermatsche Vermutung, die zwar inzwischen bewiesen ist, deren Beweis sich aber über hunderte von Seiten erstreckt.

Im Jahr 2012 hat der japanische Mathematiker S. Mochizuki eine Reihe von Artikeln vorgelegt, mit denen er angeblich die abc-Vermutung beweist. Mochizuki ist durch seine bisherigen Arbeiten als exzellenter Zahlentheoretiker ausgewiesen und seine Manuskripte sind daher sicher ernst zu nehmen. Bisher gibt es aber außer ihm niemanden, der seinen Beweis verstehen kann (oder der einen wesentlichen Fehler aufgedeckt hätte).

Im Vortrag wird die Aussage der Vermutung erläutert und etwas zum heutigen Wissensstand gesagt, sowie einige Konsequenzen der Vermutung erklärt. Damit besteht für die Schüler die Möglichkeit, ein aktuelles und sehr tiefliegendes Forschungsproblem der Zahlentheorie kennenzulernen, das sich mit Mathematikkenntnissen der Unterstufe formulieren lässt.