Die Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge ist ein sogenanntes Fraktal; sie wird oft auch als Apfelmännchen bezeichnet. Mathematisch ist diese Menge folgendermaßen definiert: Zu einer komplexen Zahl $c$ definieren wir die Folge $(z_{n}(c))_n$ komplexer Zahlen durch
$$ z_{0}(c) := 0, \quad z_{n+1}(c) := z_n^2 + c. $$
Die Mandelbrot-Menge ist dann die Menge
$$ \{ c\in \mathbb C;\ \text{die Folge } (z_{n}(c))_n \text{ ist beschränkt} \} $$
aller komplexen Zahlen, für die die zugehörige Folge beschränkt ist, d.h., dass die Folgenwerte einen fixierten Kreis um den Ursprung nicht verlassen.
Die Bilder, die man üblicherweise von der Mandelbrot-Menge sieht, zeigen nicht nur als Schwarzweißbilder, welche Punkte in der Mandelbrot-Menge liegen (meist werden diese schwarz gefärbt), und welche nicht, sondern zeigen durch die Einfärbung auch, wie schnell sich die Folge bei den Punkten, die nicht in der Mandelbrot-Menge enthalten sind, vom Ursprung entfernt.
Poster: Zahlen (0.2MB), Fraktale (17.5MB)
Links
Software
Im Webbrowser
Mandelbrot set Ein Programm, um die Mandelbrot-Menge im Webbrowser darzustellen.
Mandelbrot iteration orbits zeigt die Folgenwerte der Folge $z_n = z_{n-1}^2 + c$ für einzelne Punkte $c$.
Zu installierende Programme
Fraqtive (Windows/Mac OS X/Linux)
Mandelbrot set explorer (Windows/Mac OS X/Linux)